Estadística I

Clase 18: Introducción a la Probabilidad 2

M.Sc. José Miguel Avendaño I.

Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1

2025-06-19

1. Teoría de Conjuntos

Conceptos Clave

  • Conjunto: Una colección bien definida de objetos.
    • Ej: \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (resultados de un dado).
  • Complemento (\(\mathbf{A^c}\) o \(\mathbf{\bar{A}}\)): Todos los elementos que no están en el conjunto A, pero sí en el espacio muestral.
    • Ej: Si \(A = \{2, 4, 6\}\) (pares), entonces \(A^c = \{1, 3, 5\}\) (impares).

1. Teoría de Conjuntos- cont.

  • Unión (\(\mathbf{A \cup B}\)): Todos los elementos que están en A, o en B, o en ambos.
    • Ej: Si \(A = \{1, 2, 3\}\) y \(B = \{3, 4, 5\}\), entonces \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
  • Intersección (\(\mathbf{A \cap B}\)): Todos los elementos que están tanto en A como en B.
    • Ej: Si \(A = \{1, 2, 3\}\) y \(B = \{3, 4, 5\}\), entonces \(A \cap B = \{3\}\).

2. Experimento y Espacio Muestral

2.1. Experimento

  • Cualquier proceso que produce un resultado observable.
  • Características:
    • Se conoce el conjunto de todos los resultados posibles.
    • No se puede predecir con certeza el resultado particular de una ejecución.
    • Puede ser repetido bajo condiciones similares.
  • Ejemplo:
    • Lanzar una moneda.
    • Observar el tipo de cambio euro-dólar en un día específico.
    • Contar el número de clientes que entran a un banco en una hora.

2.2. Espacio Muestral (\(\mathbf{S}\) o \(\mathbf{\Omega}\))

  • El conjunto de todos los resultados posibles (puntos muestrales) de un experimento.

  • Ejemplos:

    • Lanzar un dado: \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
    • Lanzar dos monedas: \(S = \{\text{CC, CS, SC, SS}\}\)
    • Tiempo de espera en una fila (en minutos): \(S = \{t \mid t \ge 0\}\) (un espacio muestral continuo)

3. Eventos: Subconjuntos del Espacio Muestral

3.1. Definición de Evento

  • Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Es un resultado o un grupo de resultados de interés.

3.2. Tipos de Eventos

  • Evento Simple (o Elemental): Un evento que consta de un solo resultado del espacio muestral.
    • Ejemplo: Al lanzar un dado, el evento “obtener un 3” es simple: \(E = \{3\}\).
  • Evento Compuesto: Un evento que consta de más de un resultado del espacio muestral.
    • Ejemplo: Al lanzar un dado, el evento “obtener un número par” es compuesto: \(E = \{2, 4, 6\}\).

4. Eventos desde la Perspectiva de Conjuntos

  • Dado que los eventos son subconjuntos del espacio muestral, podemos aplicar las operaciones de la teoría de conjuntos:

    • Unión de Eventos (\(\mathbf{A \cup B}\)): Ocurre si el evento A ocurre, o el evento B ocurre, o ambos ocurren.
      • Ej: Evento A = “Sacar un 1 o 2”, Evento B = “Sacar un 2 o 3”. \(A \cup B\) = “Sacar 1, 2 o 3”.

4. Eventos desde la Perspectiva de Conjuntos- cont.

  • Intersección de Eventos (\(\mathbf{A \cap B}\)): Ocurre si el evento A y el evento B ocurren simultáneamente.
    • Ej: Evento A = “Sacar un número par”, Evento B = “Sacar un número menor que 4”. \(A \cap B\) = “Sacar un 2”.
  • Complemento de un Evento (\(\mathbf{A^c}\)): Ocurre si el evento A no ocurre.
    • Ej: Evento A = “Sacar un número par”. \(A^c\) = “Sacar un número impar”.

Evento Nulo (\(\mathbf{\emptyset}\) o {})

  • Un evento que no contiene ningún resultado del espacio muestral. Es un evento imposible.
    • Ejemplo: Al lanzar un dado, el evento “obtener un 7” es el evento nulo.
    • Formalmente: \(A \cap A^c = \emptyset\).

5. Diagramas de Venn

  • Representaciones visuales de eventos y sus relaciones dentro de un espacio muestral.

    • El espacio muestral (\(S\)) se representa como un rectángulo.
    • Los eventos (\(A, B, \dots\)) se representan como círculos dentro del rectángulo.

5. Diagramas de Venn. Casos

5. Diagramas de Venn- Ejemplos

  • Evento A:

    +-------------------+
| S                 |
|    +-------+      |
|    |   A   |      |
|    |       |      |
|    +-------+      |
|                   |
+-------------------+

5. Diagramas de Venn- Ejemplos

  • A Complemento (\(A^c\)): (Área fuera de A)

    +-------------------+
| S     +-------+   |
|       |       |   |
|#######| A     |###|
|#######|       |###|
|#######+-------+###|
|###################|
+-------------------+
(El área sombreada es A^c)

5. Diagramas de Venn- Ejemplos

  • Unión (\(\mathbf{A \cup B}\)): (Área de A, B, o ambos)

    +-------------------+
| S                 |
|    +-------+      |
|    | A     |      |
|    |     +-----+  |
|    +-----+ B   |  |
|          |     |  |
|          +-----+  |
|                   |
+-------------------+
(Las áreas combinadas de A y B)

5. Diagramas de Venn- Ejemplos

  • Intersección (\(\mathbf{A \cap B}\)): (Área donde A y B se superponen)

    +-------------------+
| S                 |
|    +-------+      |
|    | A     |      |
|    |   ### | B    |
|    +-----+ ### +  |
|          | ### |  |
|          +-----+  |
|                   |
+-------------------+
(El área sombreada es A intersección B)

6. Axiomas de la Probabilidad

  • Fundamentos matemáticos sobre los cuales se construye la teoría de la probabilidad.

Axioma 1: No Negatividad

  • Para cualquier evento A, la probabilidad de A es no negativa: \[P(A) \ge 0\]
  • Ejemplo: La probabilidad de que llueva mañana no puede ser \(-0.2\). Siempre será un valor igual o mayor que cero.

6. Axiomas de la Probabilidad

Axioma 2: Probabilidad del Espacio Muestral

  • La probabilidad del espacio muestral completo es igual a 1. \[P(S) = 1\]
  • Ejemplo: Si lanzamos una moneda, la probabilidad de que salga “cara” o “sello” es 1, ya que cubre todos los resultados posibles.

6. Axiomas de la Probabilidad

Axioma 3: Aditividad para Eventos Mutuamente Excluyentes

  • Si A y B son eventos mutuamente excluyentes (es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo, \(A \cap B = \emptyset\)), entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{si } A \cap B = \emptyset\]

Axioma 3: Aditividad para Eventos Mutuamente Excluyentes- cont.

  • Ejemplo:

Si en un dado, A = “sacar un número par” (\(\{2,4,6\}\)) y B = “sacar un 1” (\(\1/6\}\)).

Son mutuamente excluyentes.

  • \(P(A) = 3/6 = 1/2\)
  • \(P(B) = 1/6\)
  • \(P(A \cup B) = P(\text{sacar un par o un 1}) = P(\{1,2,4,6\}) = 4/6 = 2/3\).
  • Verificamos: \(P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3\).

7. Proposiciones Clave de la Probabilidad

7.1. Probabilidad del Complemento

  • Para cualquier evento A, la probabilidad de A más la probabilidad de su complemento es 1. \[P(A) + P(A^c) = 1\]
  • De esto se deriva que: \[P(A^c) = 1 - P(A)\]

7.1. Probabilidad del Complemento. Ejemplo

  • Ejemplo: Si la probabilidad de que un proyecto tenga éxito (\(A\)) es \(P(A) = 0.7\), entonces la probabilidad de que no tenga éxito (\(A^c\)) es \(P(A^c) = 1 - 0.7 = 0.3\).

7. Proposiciones Clave de la Probabilidad

7.2. Límite Superior de la Probabilidad

  • Para cualquier evento A, la probabilidad de A es menor o igual a 1. (Esto se desprende del Axioma 1 y Axioma 2, ya que \(P(A) \le P(S) = 1\)). \[P(A) \le 1\]
  • Ejemplo: La probabilidad de que un evento ocurra nunca puede ser mayor al 100%.

7. Proposiciones Clave de la Probabilidad

7.3. Regla de Adición para Dos Eventos

  • Para dos eventos cualesquiera A y B (sean mutuamente excluyentes o no): \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
  • Ejemplo:
    • Evento A: Estudiante aprueba Macroeconomía (\(P(A) = 0.6\)).
    • Evento B: Estudiante aprueba Microeconomía (\(P(B) = 0.5\)).
    • Evento \(A \cap B\): Estudiante aprueba ambas (\(P(A \cap B) = 0.3\)).
    • Probabilidad de aprobar al menos una: \(P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8\).

7. Proposiciones Clave de la Probabilidad

7.4. Regla de Adición para Tres Eventos

  • Para tres eventos cualesquiera A, B y C: \[P(A \cup B \cup C) = \]
    \[P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]
  • Esta fórmula generaliza la regla de adición, asegurando que las intersecciones se resten adecuadamente para evitar el doble conteo de resultados.

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