Estadística I

Clase 17: Introducción a la Probabilidad

M.Sc. José Miguel Avendaño I.

Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1

2025-06-17

Nota

Tip

Todas las láminas que se muestran a continuación pertenecen al proyecto OpenIntroStats openintro.org/os, y se encuentra disponible en su formato original en el siguiente enlace

Procesos Aleatorios

  • Un proceso aleatorio es una situación en la que sabemos qué resultados podrían ocurrir, pero no sabemos qué resultado particular ocurrirá.

  • Ejemplos: lanzamientos de moneda, tiradas de dados, el modo aleatorio de spotify, si el mercado de valores subirá o bajará mañana, etc.

  • Puede ser útil modelar un proceso como aleatorio incluso si no lo es realmente.

Probabilidad

Hay varias posibles interpretaciones de la probabilidad, pero (casi) coinciden completamente en las reglas matemáticas que la probabilidad debe seguir.

  • \(P(A)\) = Probabilidad del evento A

  • \(0≤P(A)≤1\)

Probabilidad Interpretación Frecuentista:

La probabilidad de un resultado es la proporción de veces que el resultado ocurriría si observáramos el proceso aleatorio un número infinito de veces.

La proporción de sacar 3 tiende a acercarse a la probabilidad de 1/6 ≈ 0.167 a medida que aumenta el número de tiradas (n).

Probabilidad Interpretación Bayesiana:

Un Bayesiano interpreta la probabilidad como un grado de creencia subjetivo: Para el mismo evento, dos personas distintas podrían tener diferentes puntos de vista y, por lo tanto, asignar diferentes probabilidades.

Popularizada en gran medida por los avances revolucionarios en la tecnología y los métodos computacionales durante los últimos veinte años.

Práctica

¿Cuál de los siguientes eventos te sorprendería más?

(a) exactamente 3 caras seguidas en 10 lanzamientos de moneda

(b) exactamente 3 caras seguidas en 100 lanzamientos de moneda

(c) exactamente 3 caras seguidas en 1000 lanzamientos de moneda

Ley de los Largos Números

Cuando se lanza una moneda no cargada, si sale cara en cada uno de los primeros 10 lanzamientos, ¿cuál crees que es la probabilidad de que salga otra cara en el siguiente lanzamiento? ¿0.5, menos de 0.5 o más de 0.5?

\(C\,|C|\,C |\,C|\, C|\, C|\, C |\,C|\, C|\,C​|\, ?\)

Ley de los Largos Números cont.

  • La probabilidad sigue siendo 0.5, o todavía hay un 50% de posibilidades de que salga otra cara en el siguiente lanzamiento.

    \(P(C\, en\, el\, 11º\, lanzamiento)=P(S\, en\, el\, 11º\, lanzamiento)=0.5\)

  • La moneda no está “en deuda” con un sello.

  • El error común de interpretación de la LLN es que se supone que los procesos aleatorios compensan lo que haya ocurrido en el pasado; esto simplemente no es cierto y también se llama falacia del jugador (o ley de los promedios).

Ley de los Grandes Números

A medida que se recolectan más observaciones, la proporción \(\hat{p_n}​\) de ocurrencias con un resultado particular converge a la probabilidad p de ese resultado.

Resultados disjuntos y no disjuntos

Resultados disjuntos (mutuamente excluyentes): No pueden ocurrir al mismo tiempo.

  • El resultado de un solo lanzamiento de moneda no puede ser cara y cruz.

  • Un estudiante no puede reprobar y aprobar una clase a la vez.

  • Una sola carta sacada de una baraja no puede ser un as y una reina.

REGLA DE LA ADICIÓN PARA RESULTADOS DISJUNTOS

Si \(A_1\)​ y \(A_2\)​ representan dos resultados disjuntos, entonces la probabilidad de que ocurra uno de ellos está dada por


\(P(A_1​\, o\, A_2​)=P(A_1​)+P(A_2​)\)


Si hay muchos resultados disjuntos \(A_1​,…,A_k​\) entonces la probabilidad de que ocurra uno de estos resultados es


\(P(A_1​)+P(A_2​)+⋯+P(A_k​)\)

Resultados no disjuntos: Pueden ocurrir al mismo tiempo.

Un estudiante puede obtener una 20 en Estadística y una 20 en Economía en el mismo semestre.

Unión de eventos no disjuntos

¿Cuál es la probabilidad de sacar una jota o una carta roja de una baraja completa bien barajada?

\(P(\text{sota o roja}) = P(\text{sota}) + P(\text{roja}) - P(\text{sota y roja})\)

\(=\frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52}\)

Diagrámas de Venn

Los diagramas de Venn son útiles cuando los resultados pueden categorizarse como “dentro” o “fuera” para dos o tres variables, atributos o procesos aleatorios. El siguiente diagrama utiliza un círculo para representar los diamantes y otro para representar las figuras.

  • Si una carta es a la vez un diamante y una figura, cae en la intersección de los círculos.

  • Si es un diamante pero no una figura, estará en la parte del círculo izquierdo que no está en el círculo derecho (y así sucesivamente).

REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN

Si A y B son dos eventos cualesquiera, disjuntos o no, entonces la probabilidad de que al menos uno de ellos ocurra es

\(P(A\, o\, B)=P(A)+P(B)−P(A\, y \,B)\)

donde \(P(A\, y\, B)\) es la probabilidad de que ambos eventos ocurran.

“o” es inclusivo

Cuando escribimos “o” en estadística, nos referimos a “y/o” a menos que explícitamente declaremos lo contrario. Así, A o B ocurre significa A, B, o ambos A y B ocurren.

Práctica

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar piense que la marihuana debería legalizarse o que esté de acuerdo con las opiniones políticas de sus padres?

Compartir la Política de los Padres
Legalizar MJ No Sí Total
No 11 40 51
Sí 36 78 114
Total 47 118 165

(a) (40+36−78)/165 (b) (114+118−78)/165 (c) 78/165
(d) 78/188 (e) 11/47

Repaso

Regla general de la adición

\(P(A\, o\, B)\,=\,P(A)+P(B)−P(A\, y\, B)\)


Nota: Para eventos disjuntos 

\(P(A \,y\, B)=0\), por lo que la fórmula anterior se simplifica a \(P(A\, o \,B)=P(A)+P(B)\)

Distribución de Probabilidad

Una distribución de probabilidad enumera todos los eventos posibles y las probabilidades con las que ocurren.

  • La distribución de probabilidad para el género de un hijo:
Evento Masculino Femenino
Probabilidad 0.5 0.5

Reglas para las distribuciones de probabilidad:

  1. Los eventos listados deben ser disjuntos.

  2. Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.

  3. Las probabilidades deben sumar 1.

  • La distribución de probabilidad para los géneros de dos hijos:
Evento MM FF MF FM
Probabilidad 0.25 0.25 0.25 0.25

Práctica

En una encuesta, el 52% de los encuestados dijo ser demócrata. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado seleccionado al azar de esta muestra sea republicano?

(a) 0.48

(b) más de 0.48

(c) menos de 0.48

(d) no se puede calcular usando solo la información proporcionada

Práctica

En una encuesta, el 52% de los encuestados dijo ser demócrata. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado seleccionado al azar de esta muestra sea republicano?

(a) 0.48

(b) más de 0.48

(c) menos de 0.48

(d) no se puede calcular usando solo la información proporcionada

Si los únicos dos partidos políticos son Republicano y Demócrata, entonces (a) es posible. Sin embargo, también es posible que algunas personas no se afilien a un partido político o se afilien a un partido distinto a estos dos. Entonces (c) también es posible. Sin embargo, (b) definitivamente no es posible ya que resultaría en que la probabilidad total para el espacio muestral sea superior a 1.

Espacio Muestral y Complementos

El espacio muestral es la colección de todos los posibles resultados de un ensayo.

  • Una pareja tiene un hijo, ¿cuál es el espacio muestral para el género de este hijo? S={M,F}

  • Una pareja tiene dos hijos, ¿cuál es el espacio muestral para el género de estos hijos? S={MM,FF,FM,MF}

Eventos Complementarios

Los eventos complementarios son dos eventos mutuamente excluyentes cuyas probabilidades suman 1.

  • Una pareja tiene un hijo. Si sabemos que el hijo no es un niño, ¿cuál es el género de este hijo? {M,F}Niño y niña son resultados complementarios.

  • Una pareja tiene dos hijos, si sabemos que no son ambas niñas, ¿cuáles son las posibles combinaciones de género para estos hijos? S={MM,FF,FM,MF}

Independencia

Dos procesos son independientes si conocer el resultado de uno no proporciona información útil sobre el resultado del otro.

  • Saber que la moneda cayó en cara en el primer lanzamiento no proporciona ninguna información útil para determinar en qué caerá la moneda en el segundo lanzamiento.

    Los resultados de dos lanzamientos de una moneda son independientes.

  • Saber que la primera carta sacada de una baraja es un as sí proporciona información útil para determinar la probabilidad de sacar un as en la segunda extracción.

    Los resultados de dos extracciones de una baraja de cartas (sin reemplazo) son dependientes.

Práctica

Entre el 9 y el 12 de enero de 2013, SurveyUSA entrevistó a una muestra aleatoria de 500 residentes de Carolina del Norte preguntándoles si creen que la posesión generalizada de armas protege a los ciudadanos que cumplen la ley del crimen, o hace que la sociedad sea más peligrosa. El 58% de todos los encuestados dijo que protege a los ciudadanos. El 67% de los encuestados blancos, el 28% de los encuestados negros y el 64% de los encuestados hispanos compartieron esta opinión. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

La opinión sobre la posesión de armas y la etnia racial son muy probablemente

(a) complementarias

(b) mutuamente excluyentes

(c) independientes

(d) dependientes

(e) disjuntas

Determinando la Dependencia

Determinando la Dependencia basado en datos de muestra

  • Si las probabilidades condicionales calculadas en base a datos de muestra sugieren dependencia entre dos variables, el siguiente paso es realizar una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia observada entre las probabilidades es probable o improbable que haya ocurrido por casualidad.

  • Si la diferencia observada entre las probabilidades condicionales es grande, entonces hay una evidencia más fuerte de que la diferencia es real.

  • Si una muestra es grande, incluso una pequeña diferencia puede proporcionar una fuerte evidencia de una diferencia real.

Regla del producto para eventos independientes

\(P(A \,y\, B)\, = \,P(A)×P(B)\)


O más generalmente,\[P(A_1​,\, \text y\, ,…, \, \text y\, Ak​) = P(A_1​)×⋯×P(A_k​)\]

Lanzas una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos caras seguidas?


P(C en el 1er lzto) × P(C en el 2do lzto) = 1/2 ​× 1/2 ​=1/4​

Disjunto vs. complementario

¿La suma de las probabilidades de dos eventos disjuntos siempre suma 1?

No necesariamente, puede haber más de 2 eventos en el espacio muestral, por ejemplo, la afiliación a un partido.

¿La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios siempre suma 1?

Sí, esa es la definición de complementario, por ejemplo, caras y cruces.

Reuniendo todo…

Si seleccionáramos aleatoriamente 5 texanos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno no tenga seguro?

  • Si seleccionáramos aleatoriamente 5 texanos, el espacio muestral para el número de texanos sin seguro sería: S={0,1,2,3,4,5}

  • Estamos interesados en los casos en que al menos una persona no tiene seguro: S={0,1,2,3,4,5}

  • Así que podemos dividir el espacio muestral en dos categorías: S={0,al menos uno}

Reuniendo todo…

Dado que la probabilidad del espacio muestral debe sumar 1:

P (al menos 1 sin asegurar)

  • \(=1−P(ninguno\, sin\, asegurar)\)

  • \(=1−(1−0.255)^5\)

  • \(=1−0.745^5\)

  • \(=1−0.23\)

  • \(=0.77\)

Al menos 1:

P(al menos uno)= 1−P (ninguno)

Práctica

Aproximadamente el 20% de los estudiantes universitarios de una universidad son vegetarianos o veganos. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 3 estudiantes universitarios, al menos uno sea vegetariano o vegano?

(a) \(1−0.2 × 3\)

(b) \(1−0.2^3\)

(c) \(0.8^3\)

(d) \(1−0.8×3\)

(e) \(1−0.8^3\)

Solución

\(P( al\, menos\, 1\,vegetariano)\)

\(=1−P(\,ninguno\, vegetariano)\)

\(=1−0.8^3\)

\(=1−0.512=0.488\)

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