Estadística I

Clase 15: \(R^2\) (Coeficiente de Determinación)

M.Sc. José Miguel Avendaño I.

Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1

2025-06-05

\(R^2\)

  • Medida estadística que representa la proporción de la varianza de la variable dependiente (\(Y\)) que es predecible a partir de la variable independiente (\(X\)) en un modelo de regresión lineal.

  • Forma rápida de indicar lo bien que el modelo de regresión se ajusta a los datos observados.

  • Su valor siempre se encuentra entre 0 y 1 (o 0% y 100%).

Importancia

  • En economía, \(R^2\) nos ayuda a entender la capacidad predictiva de nuestros modelos.
  • Por ejemplo, si estamos modelando el consumo en función del ingreso, un \(R^2\) alto indicaría que el ingreso explica una gran parte de la variabilidad del consumo.
  • Nos permite evaluar la “bondad de ajuste” de nuestro modelo antes de sacar conclusiones sobre las relaciones entre variables económicas.

Interpretación del valor de \(R^2\)

  • \(R^2 = 0\): El modelo de regresión no explica absolutamente nada de la variabilidad de la variable dependiente. Las variables independientes no tienen ningún poder predictivo.

  • \(R^2 = 1\): El modelo de regresión explica el 100% de la variabilidad de la variable dependiente. Todas las observaciones se encuentran exactamente sobre la línea de regresión. Esto es extremadamente raro en datos económicos reales.

  • \(0 < R^2 < 1\): Indica que el modelo explica una parte de la variabilidad de la variable dependiente.

Ejemplo:

  • Si \(R^2 = 0.60\) (o 60%), significa que el 60% de la variabilidad total de la variable dependiente puede ser explicada por las variables independientes incluidas en el modelo. El 40% restante es variabilidad no explicada (residual).

Consideraciones importantes al interpretar \(R^2\)

  • Un \(R^2\) alto no siempre significa que el modelo es “bueno” o que las variables independientes son las únicas causas. Puede haber causalidad inversa, variables omitidas, etc.
  • Un \(R^2\) bajo no siempre significa que el modelo es “malo”. En algunas áreas de la economía, donde hay mucha variabilidad no controlada, un \(R^2\) de 0.20 o 0.30 puede ser considerado aceptable.
  • \(R^2\) tiende a aumentar con cada variable independiente que se añade al modelo, incluso si esa variable no es estadísticamente significativa.

Calcular \(R^2\): Tipos de variabilidad:

Suma Total de Cuadrados (SST - Total Sum of Squares):

Mide la variabilidad total de la variable dependiente (Y) con respecto a su media. \[SST = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2\] Donde:

  • \(Y_i\) es el valor observado de la variable dependiente para la observación \(i\).
  • \(\bar{Y}\) es la media de la variable dependiente.
  • \(n\) es el número de observaciones.

Suma Explicada de Cuadrados:

La SSE - Explained Sum of Squares / Sum of Squares Regression) mide la variabilidad de la variable dependiente que es explicada por el modelo de regresión. Es la diferencia entre los valores predichos y la media de Y. \[SSE = \sum_{i=1}^{n} (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2\] Donde:

  • \(\hat{Y}_i\) es el valor predicho de la variable dependiente para la observación \(i\) por el modelo de regresión.
  • \(\bar{Y}\) es la media de la variable dependiente.

Suma de Cuadrados de los Errores:

La SSR - Sum of Squares Residual / Sum of Squares Error) mide la variabilidad no explicada por el modelo, es decir, la suma de los cuadrados de los residuos (la diferencia entre los valores observados y los predichos). \[SSR = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{Y}_i)^2\] Donde:

  • \(Y_i\) es el valor observado de la variable dependiente para la observación \(i\).
  • \(\hat{Y}_i\) es el valor predicho de la variable dependiente para la observación \(i\).

La relación fundamental

La variabilidad total se puede descomponer en la variabilidad explicada y la variabilidad no explicada: \[SST = SSE + SSR\]

Fórmula general de \(R^2\)

El coeficiente de determinación \(R^2\) se calcula como la proporción de la variabilidad total que es explicada por el modelo:

\[R^2 = \frac{SSE}{SST}\]

Alternativa

Usar la Suma de Cuadrados de los Errores:

Dado que \(SST = SSE + SSR\), podemos reescribir \(SSE = SST - SSR\). Sustituyendo esto en la fórmula de \(R^2\):

\[R^2 = \frac{SST - SSR}{SST}\]

\[R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST}\]

Esta segunda fórmula es en general más usada y conceptualmente clara, ya que muestra \(R^2\) como 1 menos la proporción de la variabilidad no explicada.

Ejemplo de cálculo (conceptual)

Si tenemos: * \(SST = 100\) (La variabilidad total de Y es 100 unidades) * \(SSR = 30\) (La variabilidad no explicada por el modelo es 30 unidades)

Entonces: * \(SSE = SST - SSR = 100 - 30 = 70\)

Y el \(R^2\) sería: \[R^2 = \frac{SSE}{SST} = \frac{70}{100} = 0.70\]O\[R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{30}{100} = 1 - 0.30 = 0.70\]

Esto significa que el 70% de la variabilidad de la variable dependiente es explicada por el modelo de regresión.

\(R\) vs. \(R^2\)

  • El coeficiente de correlación lineal de Pearson (R) es una medida estadística que cuantifica la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas.
  • Su valor se encuentra siempre entre -1 y +1.

Interpretación del valor de \(R\)

  • \(R = +1\): Indica una correlación lineal positiva perfecta. A medida que una variable aumenta, la otra aumenta proporcionalmente en una línea recta.
  • \(R = -1\): Indica una correlación lineal negativa perfecta. A medida que una variable aumenta, la otra disminuye proporcionalmente en una línea recta.
  • \(R = 0\): Indica que no hay relación lineal entre las dos variables. Esto no significa que no haya ningún tipo de relación, solo que no es lineal.
  • Valores entre 0 y \(\pm 1\): Indican la fuerza de la relación lineal. Cuanto más cerca esté \(R\) de \(\pm 1\), más fuerte es la relación lineal. Cuanto más cerca esté de 0, más débil es.

La Relación \(R^2\) con \(R\)

  • En una regresión lineal simple (cuando solo se tiene una variable independiente), el coeficiente de determinación (\(R^2\)) es literalmente el cuadrado del coeficiente de correlación lineal (\(R\)). \[R^2 = (R)^2\]
  • Por ejemplo, si el coeficiente de correlación (\(R\)) entre el consumo y el ingreso es \(0.80\), entonces el \(R^2\) será \((0.80)^2 = 0.64\).
  • Esto significa que si \(R = 0.80\), hay una fuerte relación lineal positiva. Y si \(R^2 = 0.64\), el 64% de la variabilidad del consumo es explicada por la variabilidad del ingreso.

Diferencias

A pesar de esta relación matemática, sus interpretaciones son distintas:

  1. R (Coeficiente de Correlación):
    • Mide la dirección (positiva o negativa) y la fuerza de la relación lineal entre dos variables.
    • No tiene una interpretación directa en términos de “porcentaje explicado”.
  2. \(R^2\) (Coeficiente de Determinación):
    • Mide la proporción de la varianza de la variable dependiente que es explicada por el modelo de regresión (o por la(s) variable(s) independiente(s)).
    • Su interpretación es siempre en términos de “porcentaje” o “proporción” de la variabilidad explicada.
    • No tiene signo, ya que es un cuadrado, lo que significa que no indica la dirección de la relación.

¿Cuándo es importante esta diferencia?

  • En regresión lineal simple, se calcula \(R\) y luego es elevado al cuadrado para obtener \(R^2\)..
  • En regresión lineal múltiple (cuando se tienen dos o más variables independientes), la relación \(R^2 = (R)^2\) ya no se sostiene directamente.

🔗 Estadística 1