Estadística I
Clase 14: Regresión Lineal Simple
M.Sc. José Miguel Avendaño I.
Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1
2025-06-05
Introducción a la Regresión Lineal Simple
- La regresión lineal simple busca modelar la relación lineal entre una variable dependiente (\(Y\)) y una variable independiente (\(X\)).
- El objetivo es encontrar la “mejor” línea recta que describa cómo cambia \(Y\) en función de \(X\).
Esta línea se representa con la ecuación: \[\hat{y} = b_0 + b_1 x\]
Compuesta por
\(\hat{y}\) es el valor predicho de \(Y\),
\(b_0\) es la intersección con el eje \(Y\), y
\(b_1\) es la pendiente.
El Método de Mínimos Cuadrados
- El método de mínimos cuadrados se utiliza para encontrar los valores de \(b_0\) y \(b_1\) que hacen que la línea de regresión se ajuste lo mejor posible a los datos observados.
- “Lo mejor posible” se define como minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias verticales entre los valores reales de \(Y\) y los valores predichos \(\hat{y}\). Estas diferencias se llaman errores o residuos.
El Método de Mínimos Cuadrados-cont.
Queremos minimizar
\(\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2\) que es el error cuadrático medio
dado que = \[\hat{y}_i=b_0 + b_1 x_i\]
entonces:
\[\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2=\sum_{i=1}^{n} (y_i - (b_0 + b_1 x_i))^2\]
Fórmulas para \(b_1\) y \(b_0\) (Mínimos Cuadrados)
Las fórmulas para calcular la pendiente (\(b_1\)) y la intersección (\(b_0\)) que minimizan la suma de los cuadrados de los errores son:
Pendiente (\(b_1\)): \[b_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\]
Intersección (\(b_0\)): \[b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}\]
Donde \(\bar{x}\) y \(\bar{y}\) son las medias de las variables \(X\) e \(Y\).
Ejemplo
Consideremos los siguientes datos sobre el número de horas dedicadas a un proyecto (\(X\)) y la calificación obtenida (\(Y\)):
| Estudiante | Horas (\(X\)) | Calificación (\(Y\)) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
| 3 | 3 | 5 |
Nuestro objetivo es encontrar la línea de regresión lineal que mejor se ajuste a estos puntos.
Gráfico de Dispersión
Cálculo de \(b_1\) y \(b_0\)
Primero, calculamos las medias:
\(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2\)
\(\bar{y} = \frac{2+4+5}{3} = \frac{11}{3} \approx 3.67\)
Cálculo de \(b_1\) y \(b_0\) - cont:
Ahora, calculamos los términos necesarios para \(b_1\):
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \(y_i - \bar{y}\) | \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -1 | -1.67 | 1.67 | 1 |
| 2 | 4 | 0 | 0.33 | 0 | 0 |
| 3 | 5 | 1 | 1.33 | 1.33 | 1 |
| \(\sum = 3.00\) | \(\sum = 2\) |
Cálculo de \(b_1\) y \(b_0\) - cont:
Calculamos \(b_1\): \[b_1 = \frac{3.00}{2} = 1.5\]
Ahora, calculamos \(b_0\): \[b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x} = 3.67 - (1.5)(2) = 3.67 - 3 = 0.67\]
La Línea de Regresión
La ecuación de la línea de regresión lineal obtenida por el método de mínimos cuadrados es:
\[\hat{y} = 0.67 + 1.5 x\]
Esta ecuación nos permite predecir la calificación (\(\hat{y}\)) dado el número de horas dedicadas al proyecto (\(x\)), basándonos en el modelo lineal ajustado a nuestros datos.
Usos de la RL
- Evaluar relaciones entre dos variables
- Predecir
