Estadística I
clase 14: coeficiente de correlación de Pearson
M.Sc. José Miguel Avendaño I.
Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1
2025-06-03
Coeficiente de Correlación de Pearson
- El coeficiente de correlación de Pearson (\(r\)) es una medida estadística que cuantifica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables cuantitativas.
- Es una herramienta fundamental en estadística para entender cómo se mueven dos variables de un mismo cojunto de datos en distintas observaciones.
- El valor de \(r\) siempre se encuentra entre -1 y +1.
Interpretación del Coeficiente \(r\)
- \(r > 0\): Indica una correlación positiva. A medida que una variable aumenta, la otra tiende a aumentar.
- \(r < 0\): Indica una correlación negativa. A medida que una variable aumenta, la otra tiende a disminuir.
- \(r \approx 0\): Indica una correlación débil o nula entre las variables.
- La magnitud de \(r\) indica la fuerza de la relación lineal:
- Cercano a \(\pm 1\): Correlación lineal fuerte.
- Cercano a 0: Correlación lineal débil.
La Fórmula del Coeficiente de Correlación de Pearson
El coeficiente de correlación de Pearson se calcula mediante la siguiente fórmula:
\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}\]
Donde: * \(n\) es el número de pares de datos. * \(x_i\) y \(y_i\) son los valores individuales de las dos variables. * \(\bar{x}\) es la media de los valores de \(x\). * \(\bar{y}\) es la media de los valores de \(y\).
Ejemplo de Cálculo
Consideremos el siguiente conjunto de datos sobre horas de estudio (\(X\)) y calificaciones obtenidas (\(Y\)):
Ejemplo de Cálculo-cont.
Vamos a calcular el coeficiente de correlación \(r\).
Primero, calculamos las medias:
\[\bar{x} = \frac{2+3+4}{3} = 3\]
\[\bar{y} = \frac{5+7+8}{3} \approx 6.67\]
Luego, calculamos los términos necesarios para la fórmula:
Ejemplo de Cálculo-cont.
| 2 |
5 |
-1 |
-1.67 |
1.67 |
1 |
2.79 |
| 3 |
7 |
0 |
0.33 |
0 |
0 |
0.11 |
| 4 |
8 |
1 |
1.33 |
1.33 |
1 |
1.77 |
|
|
|
|
\(\sum = 3.00\) |
\(\sum = 2\) |
\(\sum = 4.67\) |
Resultado del Ejemplo
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[r = \frac{3.00}{\sqrt{2} \sqrt{4.67}} = \frac{3.00}{\sqrt{9.34}} \approx \frac{3.00}{3.06} \approx 0.98\]
- El valor de \(r \approx 0.98\) indica una correlación lineal positiva muy fuerte entre las horas de estudio y las calificaciones obtenidas en este pequeño conjunto de datos. Esto sugiere que a mayor número de horas de estudio, tiende a haber una mayor calificación.
