Estadística I

Clase 9: Medias Especializadas

M.Sc. José Miguel Avendaño I.

Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1

2025-04-28

Introducción a las Medias

En estadística descriptiva, las medidas de tendencia central nos ayudan a resumir un conjunto de datos en un solo valor representativo.

Adicionalmente a la media aritmética simple, que no siempre es la mejor medida para evaluar la tendencia central de los datos, existen otras medias que son más apropiadas en ciertos contextos.

  • 1- Media ponderada
  • 2- Media armónica
  • 3- Media geométrica

1- Media Ponderada (Weighted Mean)

Asigna diferentes pesos o importancias a cada valor del conjunto de datos. - Cada valor tiene una importancia diferente (peso). - Útil cuando las observaciones no son igualmente relevantes. Penaliza los valores extremos altos.

Fórmula:

\[\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}\]

Donde: \(x_i\) representa cada valor del conjunto de datos. \(w_i\) representa el peso asignado a cada valor \(x_i\). \(n\) es el número total de valores.

Ejemplo de Media Ponderada

Estudiante tiene las siguientes calificaciones en un curso:

  • Examen 1: 14 (peso 30%)
  • Examen 2: 17 (peso 40%)
  • Trabajo final: 15 (peso 30%)

La media ponderada se calcula como:

\[\bar{x}_w = \frac{(0.30 \times 14) + (0.40 \times 17) + (0.30 \times 15)}{0.30 + 0.40 + 0.30} = \frac{4.2 + 6.18 + 4.5}{1.0} = 14.88\]

Comparación: Media Aritmética vs. Media Ponderada

Característica Media Aritmética Media Ponderada
Peso de los datos Todos los datos tienen la misma importancia (peso 1). Cada dato puede tener un peso diferente.
Uso principal Cuando todos los datos son igualmente relevantes. Cuando algunos datos son más importantes que otros.
Fórmula \[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\] \[\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}\]

Casos de Uso de la Media Ponderada

  • Índices económicos.
  • Cálculo de la inflación por componentes.
  • Análisis de portafolios de inversión con diferentes cantidades invertidas en cada activo.
  • Cálculo de promedios académicos con diferentes créditos por materia.
  • Encuestas con ponderación de respuestas según el tamaño del estrato poblacional.

2- Media Armónica (Harmonic Mean)

Es útil para calcular promedios de tasas o ratios. Se define como el recíproco1 de la media aritmética de los recíprocos de los valores.

Fórmula:

\[H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\]

Donde: \(x_i\) representa cada valor del conjunto de datos. \(n\) es el número total de valores.

Ejemplo de Media Armónica

Un automóvil viaja 100 km a 40 km/h y luego otros 100 km a 60 km/h.

¿Cuál es la velocidad promedio del viaje?

\[H = \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60}} = \frac{2}{\frac{3 + 2}{120}} = \frac{2}{\frac{5}{120}} = \frac{2 \times 120}{5} = \frac{240}{5} = 48 \text{ km/h}\]

Nota: La media aritmética simple daría \((40 + 60) / 2 = 50\) km/h, lo cual es incorrecto porque se pasa más tiempo viajando a la velocidad más lenta.

Comparación: Media Aritmética vs. Media Armónica

Característica Media Aritmética Media Armónica
Uso principal Para promediar valores directos. Para promediar tasas, ratios o velocidades.
Sensibilidad Sensible a valores extremos altos. Sensible a valores extremos bajos.
Fórmula \[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\] \[H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\]

Casos de Uso de la Media Armónica

  • Cálculo de la velocidad promedio en trayectos con distancias iguales pero velocidades diferentes.
  • Promedio de tipos de cambio o ratios financieros.
  • Cálculo de la productividad promedio de máquinas con diferentes tasas de producción.
  • Costos promedio en “por unidad” cuando se paga por tiempo.
  • Tasas de eficiencia (ej: km/litro).

3- Media Geométrica (Geometric Mean)

La media geométrica es útil para calcular promedios de tasas de crecimiento, porcentajes o valores que se multiplican entre sí. Menos sensible a valores extremos.

Fórmula:

\[G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}\]

Donde: \(x_i\) representa cada valor del conjunto de datos. \(n\) es el número total de valores.

Es importante que todos los valores sean positivos.

Ejemplo de Media Geométrica

La economía de un país creció un 10% en el primer año, un 20% en el segundo año y decreció un 10% en el tercer año.

¿Cuál es la tasa de crecimiento promedio anual?

  • Tasas de crecimiento de un país:
Año Tasa de crecimiento (%)
1 10%
2 20%
3 -10%

Convertimos a factores: (1.10), (1.20), (0.90).

Media geométrica:

\[G = \sqrt[3]{(1 + 0.10) \times (1 + 0.20) \times (1 - 0.10)} = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 0.90} = \sqrt[3]{1.188} \approx 1.059\]

La tasa de crecimiento promedio anual es aproximadamente del 5,9 %.

Comparación: Media Aritmética vs. Media Geométrica

Característica Media Aritmética Media Geométrica
Uso principal Para promediar valores directos. Para promediar tasas de crecimiento o valores multiplicativos.
Sensibilidad Sensible a valores extremos altos. Menos sensible a valores extremos que la media aritmética.
Requisito de datos No hay restricciones de signo. Los datos deben ser positivos.
Fórmula \[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\] \[G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{1/n}\]

Casos de Uso de la Media Geométrica

  • Cálculo de la tasa de crecimiento promedio de ventas, población o inversiones.
  • Promedio de índices o ratios.
  • Análisis de la diversidad genética en poblaciones.
  • Tasa de crecimiento económico.
  • Índices bursátiles (ej: rendimiento de acciones).

Relación entre las Medias

Para un conjunto de datos positivos, generalmente se cumple la siguiente desigualdad:

\[H \leq G \leq \bar{x}\]

La igualdad se da únicamente cuando todos los valores del conjunto de datos son iguales.

Conclusión: La media armónica refleja mejor la velocidad real si los tramos son iguales en distancia.

Comparación de Medias

Tipo de media ¿Cuándo usar? Sensible a valores extremos
Aritmética Valores homogéneos Alta
Ponderada Valores con importancia diferente Alta
Armónica Promedio de razones Muy alta
Geométrica Crecimientos y proporciones Baja

Resumen de Fórmulas

Tipo de media Fórmula
Aritmética \(( \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i )\)
Ponderada \(( \bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} )\)
Armónica \(( \bar{x}_h = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}} )\)
Geométrica \(( \bar{x}_g = (\prod x_i)^{1/n} )\)

¿Cómo decidir qué media usar?

Recetario con uso discrecional

  • ¿Importancia desigual? → Media ponderada.
  • ¿Promedios de tasas? → Media armónica.
  • ¿Crecimiento o factores multiplicativos? → Media geométrica.
  • ¿Valores homogéneos? → Media aritmética.

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